Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

，

OD

满足：

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
①若α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
②当α＞0，β＞0，γ=

2

时，若|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=1，（

OB

，

OC

）=

5π

6

，（

OD

，

OB

）=（

OD

，

OC

）=

π

2

，则α+β的最大值为

6

-

2

；
③已知正项等差数列{a_n}（n∈N^*），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则

1

a3

+

4

a2008

的最小值为9；
④若α+β=1（α•β≠0），γ=0，则A、B、C三点共线且A分

BC

所成的比λ一定为

α

β

．
其中正确的命题个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：①由α+β+γ=1，知A、B、C、D四点在同一平面上；②

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，两边平方结合条件得，（α+β）²=（2+

3

）αβ+1；③

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9；④根据α+β=1（α•β≠0），γ=0，得A分

BC

所成的比λ为

β

α

．

解答： 解：①∵α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，∴α+β+γ=1，
∴A、B、C、D四点在同一平面上，故①正确；
②

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，两边平方结合条件得，
3=α²+β²+2-2αβcos

π

6

，
∴α²+β²-

3

αβ=1，
∴（α+β）²=（2+

3

）αβ+1，故②错；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三点共线，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，
则

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9，故③正确；
④根据α+β=1（α•β≠0），γ=0，得

OA

=α

OB

+（1-α）

OC

，
∴

OA

-

OB

=（α-1）（

OB

-

OC

），
∴

BA

=（α-1）

CB

=-β

CB

，
则A、B、C三点共线，
且A分

BC

所成的比λ为

β

α

．故④错．
故选：B．

点评：本题主要考查共面向量和共线向量定理以及利用基本不等式求最值等基础知识和基本方法，要说明一个命题是真命题，必须给出证明，要说明其是假命题，只要举出反例即可，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．