Question

下列命题正确的是（　　）

• A、

  7

  +

  10

  ＜

  3

  +

  14

• B、对任意的实数x，都有x³≥x²-x+1恒成立．
• C、y=

  4

  x2+2

  +x2(x∈R)的最小值为2
• D、y=2x（2-x），（x≥2）的最大值为2

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用

分析：必须对选项一一加以判断：对A运用分析法考虑；对B应用作差法考虑；对C应用基本不等式考虑；对D应用二次函数的最值求得．

解答： 解：因为

7

+

10

＜

3

+

14

?(

7

+

10

)2＜(

3

+

14

)2?17+2

70

＜17+2

42

?

70

＜

42

?70＜42，显然不成立，所以A错；
因为x³-（x²-x+1）=（x³-1）-（x²-x）=（x-1）（x²+x+1）-x（x-1）=（x-1）（x²+1），
所以对任意的实数x，x³-（x²-x+1）≥0不恒成立，只有x≥1，才恒成立，故B错；
因为y=

4

x2+2

+x2=

4

x2+2

+(x2+2)-2≥2

4 x2+2 •(x2+2)

-2=4-2=2
当且仅当x=0时y取最小值2，所以C正确；
因为y=2x（2-x）=-2（x-1）²+2，当x≥2时，函数为减函数，x=2，y取最大值0，所以D错．
故选：C

点评：本题主要考查不等式的性质和应用，运用基本不等式求最值，注意一正二定三等，同时应掌握不等式证明的分析法和作差法，本题是一道中档题．