【题目】意大利人斐波那契在1202年写的《计算之书》中提出一个兔子繁殖问题:假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,此后每个月生一对小兔,如此,设第n个月的兔子对数为,则
,
,
,
,
,….考查数列
的规律,不难发现,
(
),我们称该数列为斐波那契数列.
(1)若数列的前n项和为
,满足
,
(
,
),试判断数列
是否构成斐波那契数列,说明理由;
(2)若数列是斐波那契数列,且
,求证:数列
是等比数列;
(3)若数列是斐波那契数列,求数列
的前n项和
.
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【题目】现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类,且这两类学习互不影响,已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5分;观看视频累计3分钟积2分,每日上限积6分,经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表如表1所示,视频学习积分的概率分布表如表2所示.
表1
文章学习积分 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
概率 |
表2
视频学习积分 | 2 | 4 | 6 |
概率 |
(1)现随机抽取1人了解学习情况,求其每日学习积分不低于9分的概率;
(2)现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为,求
的概率分布及数学期望.
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【题目】某高校从4名男教师和3名女教师中选3名派到3个不同国家(每个国家1名教师)交流访问,要求这3名教师中男女都有,则不同的选派方案共有( )种
A.360B.150C.180D.210
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【题目】对于数列,若存在数列
满足
(
),则称数列
是
的“倒差数列”,下列关于“倒差数列”描述正确的是( )
A.若数列是单增数列,但其“倒差数列”不一定是单增数列;
B.若,则其“倒差数列”有最大值;
C.若,则其“倒差数列”有最小值;
D.若,则其“倒差数列”有最大值.
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【题目】设椭圆(
)的离心率为
,圆
与
轴正半轴交于点
,圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,试判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:
分组 | 频数(单位:名) |
使用“余额宝” | |
使用“财富通” | |
使用“京东小金库” | 30 |
使用其他理财产品 | 50 |
合计 | 1200 |
已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.
(1)求频数分布表中,
的值;
(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为
.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为
,求
的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为
”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.
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【题目】已知椭圆,
、
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上一点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点
的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
、直线
于
、
两点,当
最小时,求直线
的方程.
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【题目】每年3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作,某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时),并绘制出如右的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替,结果精确到个位);
(Ⅱ)由直方图可以认为,人的睡眠时间近似服从正态分布
,其中
近似地等于样本平均数
,
近似地等于样本方差
,
.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人,试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8)的人数.
附:.若随机变量
服从正态分布
,则
,
.
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【题目】太极是中国古代的哲学术语,意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆被
的图象分割为两个对称的鱼形图案,图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”,已知小圆的半径均为
,现在大圆内随机投放一点,则此点投放到“鱼眼”部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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