Question

【题目】意大利人斐波那契在1202年写的《计算之书》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，如此，设第n个月的兔子对数为，则，，，，，….考查数列的规律，不难发现，（），我们称该数列为斐波那契数列.

（1）若数列的前n项和为，满足，（，），试判断数列是否构成斐波那契数列，说明理由；

（2）若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；

（3）若数列是斐波那契数列，求数列的前n项和.

Answer 1

【答案】（1）是斐波那契数列；详见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）利用证得，同时计算出，证得结论；

（2）变形与比较，同时计算出，得证等比数列；

（3）由（2）得，即，此式可变形为，化简得，这样由等比数列通项公式得，从而得，再分组后由等比数列的前项和公式可得．

解：（1）因为，（，）.

所以①，②

②－①得，又，故是斐波那契数列；

（2）因为，所以

，即，

即，所以是以为首项，为公比的等比数列；

（3）由（2）得，即，

令，化简得，

因为，所以

即是以为首项，为公比的等比数列，故

即；

所以

.