Question

19．在体积为V的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，则V的最小值是（　　）

• A． $4\sqrt{3π}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$
• C． 3π
• D． 12π

Answer 1

分析 由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥P-ABC，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，当球是这个三棱锥的外接球时，其体积V最小，将这个三棱锥补成正方体，即可得出结论．

解答 解：由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥P-ABC，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，当球是这个三棱锥的外接球时，其体积V最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线PC=$\sqrt{3}$，
∴V=$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$，
故选：B．

点评 本题考查球的体积，考查线面垂直，正确构造正方体是关键．