Question

（本小题满分13分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角．

Answer 1

（1）;（2）

都可使得是直角．

【解析】

试题分析：（1）双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，可令，得到双曲线左、右顶点为、，即，令，得到双曲线过点，

即．

进而求得双曲线方程为；

（2）要使是直角，则应使，为此可设点，由（1）得双曲线的两个焦点，，由向量数量积的坐标表示，得

，此时应分两种情况考虑点的位置：点在双曲线上，联立，点在上半圆上，联立解出方程组的解即为点的坐标．试题解析：（1）设双曲线的方程为，在已知圆的方程中，令，

得，即，则双曲线左、右顶点为、，于是 2分

令，可得，解得，

即双曲线过点，则∴． 4分

所以所求双曲线方程为 6分

（2）由（1）得双曲线的两个焦点， 7分

当时，设点，

①点在双曲线上，得，

由，得由，解得所以 10分

②若点在上半圆上，则，由，

得，由无解 12分

综上，满足条件的点有4个，分别为

13分

考点：1、双曲线的标准方程；2、向量数量积的坐标表示．