Question

设

e1

，

e2

为单位向量，非零向量

b

=x

e1

+y

e2

，x，y∈R，若

e1

，

e2

的夹角为

π

3

，则

|x|

| b |

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由

e1

，

e2

为单位向量，

e1

，

e2

的夹角为

π

3

，可得

|x|

| b |

=

|x|

x2 e1 2+y2 e2 2+2xy e1 • e2

=

|x|

x2+y2+xy

，考虑|x|≠0时，可得

|x|

| b |

=

1

( y x )2+ y x +1

=

1

( y x + 1 2 )2+ 3 4

．利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵

e1

，

e2

为单位向量，

e1

，

e2

的夹角为

π

3

，
∴

e1

•

e2

=1×1×cos

π

3

=

1

2

．
∴

|x|

| b |

=

|x|

x2 e1 2+y2 e2 2+2xy e1 • e2

=

|x|

x2+y2+xy

，
考虑|x|≠0时，
则

|x|

| b |

=

1

( y x )2+ y x +1

=

1

( y x + 1 2 )2+ 3 4

≤

1

3 4

=

2 3

3

．
∴当

y

x

=-

1

2

时，则

|x|

| b |

的最大值为

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．