Question

17．已知不等式|x-a|+|2x-3|＞$\frac{a^2}{2}$．
（1）已知a=2，求不等式的解集；
（2）已知不等式的解集为R，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入不等式，零点分段去绝对值，解不等式即可．
（2）根据绝对值的几何意义，f（x）=|x-a|+|2x-3|的最小值为f（a）或$f（{\frac{3}{2}}）$，对其讨论，可得答案．

解答 解：（1）当a=2时，可得|x-2|+|2x-3|＞2，
当x≥2时，3x-5＞2，得$x＞\frac{7}{3}$，
当$x＜\frac{3}{2}$时，-3x+5＞2，得x＜1，
当$\frac{3}{2}≤x＜2$时，x-1＞2，得：x∈∅，
综上所述，不等式解集为$\left\{{x|x＞\frac{7}{3}}\right.$或x＜1}．
（2）∵f（x）=|x-a|+|2x-3|的最小值为f（a）或$f（{\frac{3}{2}}）$，
即$f（a）=2|{a-\frac{3}{2}}|，f（{\frac{3}{2}}）=|{a-\frac{3}{2}}|$，
∴$f{（x）_{min}}=|{a-\frac{3}{2}}|$，
令$|{a-\frac{3}{2}}|＞\frac{a^2}{2}$，
则$\frac{3}{2}-a＞\frac{a^2}{2}$或$\frac{3}{2}-a＜-\frac{a^2}{2}$，
可得-3＜a＜1或a∈∅，
综上可得，a的取值范围是（-3，1）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和最小值的几何意义的运用．属于中档题．