Question

9．函数y=cosx-$\sqrt{3}$sinx在[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z上是减函数，当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，函数的值域为[-1，2]．

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的减区间；当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，利用余弦函数的定义域和值域求得函数y的值域．

解答 解：函数y=cosx-$\sqrt{3}$sinx=2cos（x+$\frac{π}{3}$），令2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，
求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函数的减区间为[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，2cos（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，2]，
故函数的值域为[-1，2]，
故答案为：[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；[-1，2]．

点评 本题主要考查辅助角公式，余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．