Question

7．求函数y=2lnx•x²的单调区间和极值．

Answer 1

分析 首先考虑函数的定义域优先原则求出定义域，然后对函数求导，导函数小于等于零，函数是单调减函数，求出减区间，即可得到单调增区间，也可获得极值．

解答 解：由题意可知函数的定义域为：（0，+∞）
又f′（x）=4x•lnx+2•x²•$\frac{1}{x}$=4x•lnx+2x，
由f′（x）≤0知，2x•lnx+x≤0，
∴0≤x≤${e}^{-\frac{1}{2}}$，
又因为x＞0，所以函数的递减区间是（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$]．函数的单调增区间为（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞），
函数在x=${e}^{-\frac{1}{2}}$时函数取得极小值：y_极小=f（${e}^{-\frac{1}{2}}$）=-$\frac{1}{e}$．

点评 此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题．在解答过程当中充分体现了定义于优先的原则、求导的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．