Question

7．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为$\frac{\sqrt{2}}{6}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．

解答 解：根据题意作出图形
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则PD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高PD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱锥P-ABC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴r=1．则球O的表面积为4π．
故选：A．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点P到面ABC的距离．