Question

P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)右支上一点，F₁与F₂是左右焦点，O为原点，则t=

PF1+PF2

OP

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：常规题型

分析：利用第二定义有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀，求出OP，可得

1

4

t²=

1

4

•

PF1+PF2

OP

=

1

1- b2 e2x02

，结合x₀²≥a²，即可求出t=

PF1+PF2

OP

的取值范围．

解答： 解：P（x₀，y₀），有y₀²=

b2

a2

（x₀²-a²），设双曲线半焦距为c，离心率为

c

a

由第二定义有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀
又OP²=x₀²+y₀²=x₀²+

b2

a2

（x₀²-a²）=e²x₀²-b²
∴

1

4

t²=

1

4

•

PF1+PF2

OP

=

1

1- b2 e2x02

∵x₀²≥a²，
∴1＜

1

4

t²≤e²，
∴t∈（2，2e]．

点评：本题考查双曲线的第二定义，考查学生的计算能力，确定PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a是关键．