试题分析:(1)证明:
a+b+c=1,a、b、c∈(0,+∞),
alog
3a+blog
3b+clog
3c= alog
3a+blog
3b+(1-a-b) log
3(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log
3a-log
3(1-a-b),当a∈(0,
)时f ′ (a)<0,当a∈(
,1)时f ′ (a)>0,
f(a)在(0,
]上递减,在[
,1) 上递增;
f(a)≥f(
)="(1-b)" log
3+ blog
3b,记g(b)=" (1-b)" log
3+ blog
3b, 3分
得:g′(b)= log
3b-log
3,当b∈(0,
)时g′(b) <0,当b∈(
,1)时,g′(b) >0,
g(b)在(0,
)递减,在(
,1)上递增;
g(b)≥g(
)=-1。
alog
3a+blog
3b+clog
3c≥-1当a=b=c=
时等号成立。5分
(2)证明:n=1时,
+
+
=1,
>0(i=1,2,3),由(1)知
+
+
≥-1成立,即n=1时,结论成立。
设n=k时结论成立,即
+
+…+
=1,
>0(i=1,2,3,…,3
k)时
+
+
+…+
≥-k.
那么,n=k+1时,若
+
+…+
+
+…+
=1,
>0(i=1,2,3,…,3
k+1)时,
令
+…+
=t,则
+
+…+
=1,由归纳假设:
+
+…+
≥-k. 8分
+
+
+…+
-(1-t)
(1-t) ≥-k(1-t).
+
+
+…+
≥-k(1-t)+ (1-t)
(1-t)…(1)
设
+…+
=s,则
+…+
=t-s,
+
+…+
=1,
由归纳假设:
+
+…+
≥-k.
+
+…+
≥-k(t-s)+ (t-s)
(t-s)
………(2) 10分
+…+
=s,
+
+…+
=1;由归纳假设同理可得:
+
+…+
≥-ks+ s
s ……(3)
将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得:
+
+…+
+…+
+…+
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)
(1-t)+ (t-s)
(t-s) + s
s
而(1-t)+(t-s)+s=1,(1-t)>0,(t-s) >0,s >0。
(1-t)
(1-t)+ (t-s)
(t-s) + s
s≥-1。
-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)
(1-t)+ (t-s)
(t-s) + s
s≥-k-1=-(k+1)。
+
+…+
+…+
≥-(k+1)。
n=k+1时,题设结论成立。综上所述,题设结论得证。 13分
点评:难题,利用已知a,b,c的关系,首先确定得到函数f(a),从而利用导数研究函数的单调性,达到证明不等式的目的。(2)利用数学归纳法证明不等式,看似思路清晰,但在不等式变形过程中,困难重重。是一道比较难的题目。