Question

17．对于一组向量$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*），令$\overrightarrow{{S}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$，如果存在$\overrightarrow{a_p}$（p∈{1，2，3…，n}），使得|$\overrightarrow{{a}_{P}}$|≥|$\overrightarrow{{S}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{P}}$|，那么称$\overrightarrow{a_p}$是该向量组的“h向量”；
（1）设$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n，n+x）（n∈N^*），若$\overrightarrow{a_3}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$的“h向量”，求x的范围；
（2）若$\overrightarrow{a_n}=（{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，{（-1）^n}）$（n∈N^*），向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*）是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$|，运用向量的坐标运算和模的公式，解不等式即可得到所求范围；
（2）$\overrightarrow{a_1}$是“h向量”．求得向量$\overrightarrow{a_1}$的模，讨论n为奇数和偶数，运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得到结论．

解答 解：（1）由题意可得，|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$|，又$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n，n+x），
即为$\sqrt{9+（x+3）^{2}}$≥$\sqrt{9+（2x+3）^{2}}$，
解得-2≤x≤0，
即x的范围是[-2，0]；
（2）$\overrightarrow{a_1}$是“h向量”．
理由：$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，-1），|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|=$\sqrt{2}$，
当n为奇数时，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$，0）=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，0），
0≤$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$，即有|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{2}$，
即|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|＞|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|；
当n为偶数时，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$，1）=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，1），
0≤$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$，即有|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}）^{2}+{1}^{2}}$＜$\sqrt{\frac{5}{4}}$＜$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{{a}_{1}}$|＞|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|．
综上可得，$\overrightarrow{a_1}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*）的“h向量”．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查向量的模的公式的运用，以及等比数列的求和公式的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．