Question

4．已知在平面坐标系内，O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），点M为直线OP上的一个动点．
（I）当$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值时，求向量$\overrightarrow{OM}$的坐标；
（II）在点M满足（I）的条件下，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出$\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，利用平面向量的坐标表示与运算法则，即可求出对应$\overrightarrow{OM}$的值；
（Ⅱ）利用平面向量的夹角余弦公式，即可求出对应的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）设$\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，
∵点M为直线OP上的一个动点，
∴向量$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{OP}$共线，
∴x-2y=0；
即$\overrightarrow{OM}=（{2y，y}）$，…（2分）
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=（1-2y，7-y），
$\overrightarrow{MB}$=（5-2y，1-y），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{1-2y}）（{5-2y}）+（{7-y}）（{1-y}）=5{（{y-2}）^2}-8$；…（4分）
∴当且仅当y=2时得${（{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}）_{min}}=-8$，此时$\overrightarrow{OM}=（{4，2}）$；…（6分）
（Ⅱ）当$\overrightarrow{OM}=（{4，2}）$时，$\overrightarrow{MA}=（{-3，5}），\overrightarrow{MB}=（{1，-1}）$；…（7分）
∴$cos∠AMB=\frac{{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}}{{|{\overrightarrow{MA}}|•|{\overrightarrow{MB}}|}}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}-\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$；…（9分）
∴∠AMB的余弦值为$-\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．…（10分）

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了学生的计算能力，是基础题目．