Question

16．函数f（x）=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤$\frac{π}{2}$）的图象与x轴相交于点（$\frac{π}{6}$，0），且函数相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求θ和ω的值；
（2）若f（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），求$\frac{sin2x}{1+cos2x}$值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴的距离得出周期，求出ω，根据特殊点求出θ；
（2）根据f（x）解析式得出sinx，利用同角三角函数的关系和二倍角公式计算sin2x，cos2x．

解答 解：（1）∵f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2．
∵f（x）图象过点（$\frac{π}{6}$，0），∴2cos（$\frac{π}{3}$+θ）=0，
∴$\frac{π}{3}+θ$=$\frac{π}{2}+$kπ，解得θ=$\frac{π}{6}$+kπ．
∵0≤θ≤$\frac{π}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=2cos（x+$\frac{π}{2}$）=-2sinx=$\frac{8}{5}$，
∴sinx=-$\frac{4}{5}$．
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴cosx=$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=$\frac{3}{5}$．
∴sin2x=2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，cos2x=cos²x-sin²x=-$\frac{7}{25}$．
∴$\frac{sin2x}{1+cos2x}$=$\frac{-\frac{24}{25}}{1-\frac{7}{25}}$=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．