Question

3．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G分别是DD₁，BD，BB₁的中点．
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{CG}$所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示的空间直有坐标系求解$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），运用数量积证明即可．
（2）运用公式COS＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{CG}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CG}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{CG}|}$=，求解夹角即可．

解答 （1）证明：建立如图所示的空间直有坐标系D-xyz，（1分）
则D（0，0，0），E（0，0，$\frac{1}{2}$），C（0，1，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），G（1，1，$\frac{1}{2}$）        
所以$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{CG}$=（1，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$）．（4分）  因为$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}×$（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）×0=0，
所以$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{CF}$，
即EF⊥CF．                                          
（2）解：因为$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}×1$$+\frac{1}{2}×0$+（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
|$\overrightarrow{EF}$|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\overrightarrow{CG}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$                              
所以COS＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{CG}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CG}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{CG}|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$

点评 本题考察了运用空间坐标系解决空间直线的位置关系，解决空间直线的夹角问题，属于中档题，关键是准确求解坐标，计算长度，数量积．