Question

11．已知函数f（x）=x-ae^x；
（1）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在点（0，g（0））处的切线方程为x+y+1=0，求实数a的值；
（2）当a＞0时，函数f（x）存在两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：lnx₁-lnx₂＜lna+1．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得g（x）的解析式，由切线的方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a=1；
（2）求得f（x）的单调区间和极值、最值，由题意可令最大值大于0，可得ae＜1，可得x₁＜1＜ln$\frac{1}{a}$＜x₂，即有x₂-x₁＞ln$\frac{1}{a}$-1，再由零点的定义，结合不等式的性质和指数函数的单调性，即可得证．

解答 解：（1）f′（x）=1-ae^x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=x-2ae^x+1，
由切线的方程x+y+1=0，可得
g（0）=1-2a=-1，
∴a=1．
（2）证明：当a＞0时，f′（x）=1-ae^x，
由f′（x）＞0，可得x＜-lna；由f′（x）＜0，可得x＞-lna．
f（x）在（-∞，-lna）上单调递增，在（-lna，+∞）单调递减，
即有f（x）在x=-lna处取得极大值，且为最大值f（-lna）=-lna-1．
由题意可知有两个零点，则f（-lna）=-lna-1＞0，即ae＜1，
又∵f（1）=1-ae＞0，
∴x₁＜1＜ln$\frac{1}{a}$＜x₂，
∴x₂-x₁＞ln$\frac{1}{a}$-1，
又∵x₁=a${e}^{{x}_{1}}$，x₂=a${e}^{{x}_{2}}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{a{e}^{{x}_{1}}}{a{e}^{{x}_{2}}}$=${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜${e}^{（1-ln\frac{1}{a}）}$=e^lnae=ae，
∴lnx₁-lnx₂＜lna+1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用函数的零点和不等式的性质，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．