Question

经过双曲线x2-

y2

3

=1的左焦点F₁作倾斜角为

π

6

的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B．
（Ⅰ）求弦长|AB|；
（Ⅱ）设F₂为双曲线的右焦点，求|BF₁|+|AF₂|-（|AF₁|+|BF₂|）的长．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵双曲线的左焦点为F₁（-2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程可设为y=

3

3

(x+2)，代入方程x2-

y2

3

=1得，8x²-4x-13=0，（4分）
∴x1+x2=

1

2

，x1x2=-

13

8

，
∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+ 1 3

•

( 1 2 )2+4× 13 8

=3（8分）
（Ⅱ）∵F₂为双曲线的右焦点，且双曲线的半实轴长a=1
∴|AF₁|+|BF₂|-（|BF₁|+|AF₂|）=（|AF₁|-|AF₂|）+（|BF₂|-|BF₁|）=4a=4（12分）