Question

3．定义：若$\frac{f（x）}{{x}^{k}}$在[k，+∞）上为增函数，则称f（x）为“k次比增函数”，其中（k∈N^*）．已知f（x）=e^ax其中e为自然对数的底数．
（1）若f（x）是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题知y=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞]上为增函数，则将题目转化成ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
（2）对参数m讨论，利用g（x）的单调性求解．

解答 解：（1）由题意知，f（x）=e^ax是“1次比增函数”，
则y=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞]上为增函数，
故（$\frac{{e}^{ax}}{x}$）′=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞]上恒成立，
又由e^ax＞0，x²＞0，
则ax-1≥0即a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞]上恒成立，
又由（$\frac{1}{x}$）_max=1，则a≥1；
于是实数a的取值范围是[1，+∞）
（2）当时，函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{x}$（x≠0），
则g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}•（\frac{x}{2}-1）}{{x}^{2}}$，
当$\frac{x}{2}$-1＞0，即x＞2时，g′（x）＞0，当$\frac{x-1}{2}$＜0，即x＜0或0＜x＜2时，g′（x）＜0，
则g（x）的增区间是（2，+∞），减区间是（-∞，0），（0，2），
由于m＞0，则m+1＞1，
①当m+1≤2，即0＜m≤1时，g（x）在[m，m+1]（m＞0）上单调递减，
则g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$；
②当m＜2＜m+1，即1＜m＜2时，g（x）在[m，2）上单调递减，在（2，m+1]上单调递增，
则g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$；
③当m≥2时，g（x）在[m，m+1]上单调递增，
则g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$；
综上，①当0＜m≤1时，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$；
②当1＜m＜2时，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$；
③当m≥2时，g（x）_min=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$

点评 本题对学生的程度要求比较高，有一定的难度，主要考查利用函数单调性求函数的最值，及不等式的等价转化思想．