Question

在△ABC中，设

x

=（2sinB，-

3

），

y

=（cos2B，1-2sin²

B

2

），且

x

∥

y

，cosC=

3

10

，求sin（B-A）的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,两角和与差的正弦函数

专题：平面向量及应用

分析：利用向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式可得B，再利用同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角形的内角和定理即可得出．

解答： 解：∵

x

∥

y

，∴2sinB(1-2sin2

B

2

)+

3

cos2B=0，化为2sinBcosB+

3

cos2B=0，即sin2B+

3

cos2B=0．
∴sin(2B+

π

3

)=0，∵B∈（0，π），∴2B+

π

3

=π或2π，解得B=

π

3

或B=

5π

6

．
∵cosC=

3

10

＜

1

2

，∴C＞

π

3

．因此B＜

2π

3

．∴B=

5π

6

舍去．
∴B=

π

3

．
∵cosC=

3

10

，∴sinC=

1-cos2C

=

91

10

．
∴sin（B-A）=sin[

π

3

-(π-

π

3

-C)]=sin(C-

π

3

)=sinCcos

π

3

-cosCsin

π

3

=

1

2

×

91

10

-

3

2

×

3

10

=

91 -3 3

20

．

点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、同角三角函数基本关系式、三角形的内角和定理等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．