Question

现有两只口袋A，B，口袋A中装着编号分别为1，3，5，7，9的五个形状完全相同的小球，口袋B中装着编号分别为2，4，6，8的四个形状完全相同的小球，某人先从口袋A中随机摸出一小球，记编号为a，然后从口袋B中摸小球，若所得小球的编号为2a，则停止，否则再从口袋B中剩余的小球中摸一球，将从口袋B中所得小球的编号相加，若和为2a，则停止，否则一直摸下去，直到和为2a为止，或者直到小球摸完为停止．
（1）求此人只摸两次的概率；
（2）若此人摸小球的次数X与所得奖金的函数关系为Y=100（5-X），求奖金Y的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设从A中摸到编号的小球为A_i（i=1，3，5，7，9），从B中摸到的小球的编号为B_i（i=2，4，6，8），
此人只摸两次的概率．
（2）X可能出现的值为2，3，4，5，η可能出现的值为300，200，100，0，分别求出相应的概率，由此能求出奖金Y的分布列与期望．

解答： 解：（1）设从A中摸到编号的小球为A_i（i=1，3，5，7，9），
从B中摸到的小球的编号为B_i（i=2，4，6，8），
此人只摸两次的概率为：
p=P（A₁B₂+A₃B₄）=P（A₁B₂）+P（A₃B₄）
=

1

5

×

1

4

+

1

5

×

1

4

=

1

10

．
（2）X可能出现的值为2，3，4，5，
P（X=2）=P（A₁B₂+A₃B₄）=

1

5

×

1

4

×2=

1

10

，
P（X=3）=P（2A₁B₂B₄+2A₃B₂B₆+2A₅B₄B₆+2A₇B₆B₈）
=4×2×

1

5

×

1

4

×

1

3

=

2

15

，
P（ξ=4）=P（6A₇B₂B₄B₆+6A₉B₄B₆B₈）
=6×2×

1

5

×

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

10

，
P（ξ=5）=1-（

1

10

+

2

15

+

1

10

）=

2

3

，
由题意知η可能出现的值为300，200，100，0，其分布列为：

η	300	200	100	0
P	1 10	2 15	1 10	2 3

Eη=300×

1

10

+200×

2

15

+100×

1

10

=

200

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．