Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点都在函数f(x)＝x＋的图象上．

(1)求a₁、a₂、a₃的值，猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明；

(2)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值．

Answer 1

 (1)∵点在函数f(x)＝x＋的图象上，

∴＝n＋，∴S_n＝n²＋a_n.

令n＝1得，a₁＝1＋a₁，∴a₁＝2；

令n＝2得，a₁＋a₂＝4＋a₂，∴a₂＝4；

令n＝3得，a₁＋a₂＋a₃＝9＋a₃，∴a₃＝6.

由此猜想：a_n＝2n.

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，由上面的求解知，猜想成立．

②假设n＝k(k≥1)时猜想成立，即a_k＝2k成立，

则当n＝k＋1时，注意到S_n＝n²＋a_n(n∈N^*)，

故S_k＋1＝(k＋1)²＋a_k＋1，S_k＝k²＋a_k.

两式相减得，a_k＋1＝2k＋1＋a_k＋1－a_k，所以a_k＋1＝4k＋2－a_k.

由归纳假设得，a_k＝2k，

故a_k＋1＝4k＋2－a_k＝4k＋2－2k＝2(k＋1)．

这说明n＝k＋1时，猜想也成立．

由①②知，对一切n∈N^*，a_n＝2n成立．

(2)因为a_n＝2n(n∈N^*)，所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以b₁₀₀＝68＋24×80＝1988，

又b₅＝22，所以b₅＋b₁₀₀＝2010.

．