Question

8．若数列{b_n}满足：n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．
（1）若c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n-1当n为奇数时}\\{4n+9当n为偶数时}\end{array}\right.$，求准等差数列{c_n}的公差，并求{c_n}的前19项的和T₁₉； 
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n
①求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
②设数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列{S_n}有连续的两项都等于50？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）c_2n+1-c_2n-1=8；c_2n+2-c_2n=8．即可得出准等差数列{c_n}的公差及其数列{c_n}的前19项的和T₁₉．
（2）①对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，a_n+1+a_n+2=2（n+1），可得：a_n+2-a_n=2．可得{a_n}为准等差数列，其公差为2．对n分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．
②对n分类讨论，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 （1）解：c_2n+1-c_2n-1=4×（2n-1）-1-[4×（2n-1）-1]=8；c_2n+2-c_2n=4×（2n+2）+9-（4×2n+9）=8．
∴准等差数列{c_n}的公差为8，
{c_n}的前19项的和T₁₉=$\frac{（3+75）}{2}×10$+$\frac{（17+81）×9}{2}$=831．
（2）①证明：∵对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n，a_n+1+a_n+2=2（n+1），∴a_n+2-a_n=2．
∴{a_n}为准等差数列，其公差为2．
当n为偶数时，a_n=2-a+2×$（\frac{n}{2}-1）$=n-a．
当n为奇数时，a_n=a+2×$（\frac{n+1}{2}-1）$=n+a-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n-a，n为偶数}\end{array}\right.$．
②当n为偶数时，S_n=$a×\frac{n}{2}$+$\frac{\frac{n}{2}（\frac{n}{2}-1）}{2}×2$+$（2-a）×\frac{n}{2}$+$\frac{\frac{n}{2}（\frac{n}{2}-1）}{2}×2$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$．
当n为奇数时，S_n=$a×\frac{n+1}{2}$+$\frac{\frac{n+1}{2}（\frac{n+1}{2}-1）}{2}$×2+（2-a）×$\frac{n-1}{2}$+$\frac{\frac{n-1}{2}（\frac{n-1}{2}-1）}{2}×2$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$+a-$\frac{1}{2}$．
当k为偶数时，S_k=$\frac{1}{2}{k}^{2}$=50，解得k=10．
S₉=$\frac{1}{2}×{9}^{2}$+a-$\frac{1}{2}$=40+a=50，解得a=10．
S₁₁=$\frac{1}{2}×1{1}^{2}$+a-$\frac{1}{2}$=50，解得a=-10．
∴存在实数a=±10，使得数列{S_n}有连续的两项都等于50．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．