Question

已知如图G7­8所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝.

(1)求证：平面BCF∥平面AED；

(2)若BF＝BD＝a，求四棱锥A­BDEF的体积．

图G7­8

Answer 1

解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC∥AD.

∵BC⊄平面ADE，AD⊂平面AED，

∴BC∥平面ADE.

又∵四边形BDEF是矩形，∴BF∥DE.

∵BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴BF∥平面ADE.

∵BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，且BC∩BF＝B，

∴平面BCF∥平面AED.

(2)如图，连接AC，AC∩BD＝O.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.

又∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC.

∵ED，BD⊂平面BDEF，且ED∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDEF，

∴AO为四棱锥A­BDEF的高．

又∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝，

∴△ABD为等边三角形．

又∵BF＝BD＝a，

∴AD＝a，AO＝a，

∴S_{四边形BDEF}＝a²，∴V_{四棱锥A­BDEF}＝·a²·a＝a³.