Question

如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.

（Ⅰ）求证：平面；   　
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平
面的距离为？若存在，确定点的位置；
若不存在，请说明理由.

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，
∴平面，
∴.                                                   2分
同理，                                               4分
∴平面．          
5分
（Ⅱ）解：设为中点，连结，
又为中点，
可得，从而底面．
过 作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角.                        7分
在中，可求得   
∴．                               9分
∴ 二面角的大小为．               10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面的距离为，
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线，垂足为,

∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即为点到平面的距离.
∴，
∴．                                        12分
设解析试题分析：解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，
∴平面，
∴.                                                   2分
同理，                                               4分
∴平面．          
5分
（Ⅱ）解：设为中点，连结，
又为中点，
可得，从而底面．
过 作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角.                        7分
在中，可求得   
∴．                               9分
∴ 二面角的大小为．               10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面的距离为，
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线，垂足为,

∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即为点到平面的距离.
∴，
∴．                                        12分
设