Question

已知球O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，且平面ACD₁截球O的截面面积为

π

6

，则正方形外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD₁是正三角形，利用平面ACD₁截球O的截面面积为

π

6

，求出正方体的棱长，可得正方形外接球的直径，最后求出正方形外接球的表面积．

解答： 解：设正方体的棱长为a，则
根据题意知，平面ACD₁是边长为

2

a的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD₁三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△ACD₁内切圆的半径是

2

2

a×tan30°=

6

6

a，
∵平面ACD₁截球O的截面面积为

π

6

，
∴π•(

6

6

a)2=

π

6

，
∴a=1，
∴正方形外接球的直径为

3

∴正方形外接球的表面积为4π•(

3

2

)2=3π．
故答案为：3π．

点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想