Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB上的点，若直线D₁E与EC垂直，
（Ⅰ）求线段AE的长；
（Ⅱ）求二面角D₁-EC-D的大小；
（Ⅲ）求D点到平面CD₁E的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）解法一：证明DE与CE垂直，设AE=a，在直角三角形△DEC中，DC²=DE²+CE²，求得AE．
解法二：利用向量法．分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x、y、z轴如图建立坐标系．设AE=a，写出A；E；C；  D₁．则

D1E

=(1，a，-1)，

CE

=(1，a-2，0)，利用

D1E

•

CE

=1+a(a-2)=0，求得AE．
（Ⅱ）解法一：说明∠D₁ED是所求二面角D₁-EC-D的平面角，在RT△D₁ED中，求解二面角D₁-EC-D即可．
解法二：利用向量法．求出平面CD₁E的法向量，平面CDE的法向量利用向量的数量积求解二面角D₁-EC-D．
（Ⅲ））解法一：求出S△CDE=

1

2

×

2

×

2

=1以及S△CDE=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，设D点到平面CD₁E的距离为d，利用VD1-CDE=VD-CD1E，求解D点到平面CD₁E的距离．
解法二：利用向量法．求出

DE

=(1，1，0)，平面CD₁E的法向量，利用向量的数量积求解D点到平面CD₁E的距离．

解答： 解：（Ⅰ）解法一：由直线D₁E与EC垂直，及DD₁⊥平面ABCD
⇒DE与CE垂直
设AE=a，则DE=

1+a2

，CE=

1+(2-a)2

，又知DC=2…（2分）
在直角三角形△DEC中，DC²=DE²+CE²，求得AE=a=1…（4分）
解法二：利用向量法
分别以DA，DC，DD₁所在的
直线为x、y、z轴如图建立坐标系．
设AE=a，写出坐标：
A（1，0，0）；  E（1，a，0 ）；
C （0，2，0）；  D₁（0，0，1）；…（1分）
则

D1E

=(1，a，-1)，

CE

=(1，a-2，0)∵

D1E

⊥

CE

…（2分） 
∴

D1E

•

CE

=1+a(a-2)=0，求得AE=a=1．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由D₁E与EC垂直⇒DE与CE垂直，
所以∠D₁ED是所求二面角D₁-EC-D的平面角…（5分）
在RT△D₁ED中，DD₁=1，DE=

2

；
故，tan∠D1ED=

1

2

=

2

2

…（7分）
二面角D₁-EC-D是arctan

2

2

．…（8分）
解法二：利用向量法
设平面CD₁E的法向量为

m

=(x，y，1)，
由（Ⅰ）得

D1E

=(1，1，-1)，

CE

=(1，-1，0)

m

•

D1E

=x+y-1=0且

m

•

CE

=x-y=0
解得：x=y=

1

2

，即

m

=(

1

2

，

1

2

，1)；…（6分）
又平面CDE的法向量为

DD1

=(0，0，1)，∴cos?

m

，

DD1

＞=

m • DD1

| m |•| DD1 |

=

1

1 4 + 1 4 +1 •1

=

6

3

．
故，二面角D₁-EC-D是arccos

6

3

．…（8分）
（Ⅲ））解法一：∵DE=CE=

2

，DE⊥CE，∴S△CDE=

1

2

×

2

×

2

=1…（9分）
又∵D1E=

3

，D₁E⊥CE，∴S△CDE=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

…（10分）
设D点到平面CD₁E的距离为d，则VD1-CDE=

1

3

×1×1=VD-CD1E=

1

3

×

6

2

×d，
解得d=

6

3

，即D点到平面CD₁E的距离为

6

3

．…（12分）
解法二：利用向量法
由（Ⅰ） （Ⅱ）得

DE

=(1，1，0)，
平面CD₁E的法向量为

m

=(

1

2

，

1

2

，1)
故，D点到平面CD₁E的距离为d=

| m • DE|

| m |

=

1 2 + 1 2

6 2

=

6

3

．…（12分）

点评：本题考查二面角的求法，点到平面的距离的求法，空间两点之间距离的求法，本题利用几何法以及向量法求解，注意学习与掌握．