Question

10．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（e，+∞）．

Answer 1

分析 设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得$\frac{1}{a}$=$\frac{lnm}{m}$，设g（m）=$\frac{lnm}{m}$，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{e}$，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=$\frac{mlnm-a}{m-a}$，
化简可得$\frac{1}{a}$=$\frac{lnm}{m}$，（*），
由题意可得方程（*）有两解，
设g（m）=$\frac{lnm}{m}$，可得g′（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，
当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；
当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．
可得g（m）在m=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
即有0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{e}$，解得a＞e．
故答案为：（e，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．