Question

8．已知圆O：x²+y²=r²与圆C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）的一个公共点P，过P作与x轴平行的直线分别交两圆于A，B两点（不同于P点），且OA⊥OB，则r=2．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形得出点P的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径r的值．

解答 解：如图所示，
圆O：x²+y²=r²与圆C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）的一个公共点P，
∴点P的横坐标为x=1；
又过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于A，B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{=y}_{2}}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=2}\end{array}\right.$；
又OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=r²，${{（x}_{2}-2）}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=r²；
由此解得r=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数形结合解题方法的问题，是综合性题目．