Question

17．（x-$\frac{1}{x\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N₊）的展开式中常数项为10，则（x-$\frac{1}{x\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中的有理项系数和为（　　）

• A． 10
• B． 15
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 由条件二项展开式的通项公式求得n=10，可得展开式的有理项，从而求得有理项系数和．

解答 解：由于（x-$\frac{1}{x\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N₊）的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}•$（-1）^r•${x}^{n-\frac{5r}{2}}$，
令n-$\frac{5r}{2}$=0，求得2n=5r，故展开式的中常数项为${C}_{n}^{\frac{2n}{5}}$=10，∴n=5，
故当r=0，2，4 时，展开式为有理项，故有理项系数和为${C}_{5}^{0}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{5}^{4}$=15，
故选：B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．