Question

对于函数f（x）=x³-3x²，给出下列四个命题：
①f（x）是增函数，无极值；
②f（x）是减函数，有极值；
③f（x）在区间（-∞，0]及[2，+∞）上是增函数；
④f（x）有极大值为0，极小值-4；
其中正确命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：由已知得f′（x）=3x²-6x，由此利用导数性质能能求出f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．f（x）_极大值=f（0）=0，f（x）_极小值=f（2）=-4．

解答： 解：∵f（x）=x³-3x²，
∴f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．
∴f（x）_极大值=f（0）=0，f（x）_极小值=f（2）=-4．
故①②错误，③④正确．
故选：B．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．