Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{mx}}（x≥0）\\ \frac{1}{m}ln（-x）（x＜0）\end{array}\right.$（其中m＞0，e为自然对数的底数）的图象为曲线M，若曲线M上存在关于直线x=0对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $m≥\frac{1}{e}$
• B． $0＜m≤\frac{1}{e}$
• C． $m≥\frac{1}{e^2}$
• D． $0＜m≤\frac{1}{e^2}$

Answer 1

分析 由题意可得方程$\frac{1}{m}lnx={e}^{mx}$有正根．由y=$\frac{1}{m}lnx$与y=e^mx互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，求其公切点的横坐标，再由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}lne≥e}\\{{e}^{me}≤e}\end{array}\right.$求得m的范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{mx}}（x≥0）\\ \frac{1}{m}ln（-x）（x＜0）\end{array}\right.$的图象上存在关于直线x=0对称的点，
∴函数f（x）=$\frac{1}{m}ln（-x）$（x＜0）关于y轴的对称图象与函数f（x）=e^mx（x≥0）的图象有交点，
即方程$\frac{1}{m}lnx={e}^{mx}$有正根．
∵y=$\frac{1}{m}lnx$与y=e^mx互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，
设y=$\frac{1}{m}lnx$与y=e^mx的公切点为（x₀，x₀），
则$\frac{1}{m{x}_{0}}=m{e}^{m{x}_{0}}$，${e}^{m{x}_{0}}=\frac{1}{m}ln{x}_{0}$，联立可得x₀=e．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}lne≥e}\\{{e}^{me}≤e}\end{array}\right.$，解得m$≤\frac{1}{e}$．
又m＞0，∴实数m的取值范围是0＜m$≤\frac{1}{e}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的图象，考查了函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，思维难度较大．