Question

8．已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 设A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m），则直线AM：$y=\frac{2m}{a}x+2m$，直线BN：$y=\frac{3m}{a}x-3m$．由直线AM，BN的交点D（c，y），得$\frac{2mc}{a}+2m=\frac{3mc}{a}-3m$，则$\frac{c}{a}=5$，即可

解答 解：如图，设A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m）．
则直线AM：$y=\frac{2m}{a}x+2m$，直线BN：$y=\frac{3m}{a}x-3m$．
∵直线AM，BN的交点D（c，y），
∴$\frac{2mc}{a}+2m=\frac{3mc}{a}-3m$，则$\frac{c}{a}=5$，
∴双曲线的离心率为5．
故答案为：C．

点评 本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题．