Question

已知f（x）=-x²+a（5-a）x+b．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-1，7）时，求实数a，b的值；
（2）当a∈[-1，2）时，f（3）＜0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据不等式f（x）＞0的解集为（-1，7），建立条件关系，即可求实数a，b的值；
（2）将不等式恒成立，转化为求函数的最值恒成立即可．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为（-1，7），
∴-1，7是方程-x²+a（5-a）x+b=0的两根．
∴

a(5-a)=6 b=7

，
∴

a=2 b=7

或

a=3 b=7

．
（2）∵当a∈[-1，2）时，f（3）＜0恒成立，
∴f（3）=-9+a（5-a）•3+b=-3a²+15a-9+b＜0，a∈[-1，2）恒成立
即b＜3a²-15a+9，a∈[-1，2）恒成立； 
设g(a)=3a2-15a+9=3(a-

5

2

)2-

39

4

，
函数g（a）对称轴为a=

5

2

，
当a∈[-1，2）时，g（a）是减函数，
∴g（a）＞g（2）=-9，
∴b≤-9，
∴实数b的取值范围是（-∞，-9]．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．