Question

14．已知数列{a_n}，{b_n}满足2S_n=（a_n+2）b_n，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若b_n=n，a₂=3，求证：数列{a_n}满足a_n+a_n+2=2a_n+1，并写出数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
求证：数列{c_n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

Answer 1

分析 （1）通过数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$，公比为$-\frac{1}{3}$的等比数列求出通项公式，然后求解${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}$．
（2）若b_n=n，通过a_n=S_n-S_n+1，得到递推关系式，化简推出数列{a_n}是首项为2公差为1的等差数列，求出通项公式．
（3）由（2）知${c_n}=\frac{n+1}{n}$，对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，且t，k∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，证明$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，构造$t=\frac{n（k+1）}{k-n}$，然后证明数列{c_n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

解答 解：（1）因为数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$，公比为$-\frac{1}{3}$的等比数列
所以${a_n}=\frac{2}{3}•{（-\frac{1}{3}）^{n-1}}$，${S_n}=\frac{{1-{{（-\frac{1}{3}）}^n}}}{2}$…（3分）
所以${b_n}=\frac{{2{S_n}}}{{{a_n}+2}}=\frac{1}{2}$…（4分）
（2）若b_n=n，则2S_n=（a_n+2）n，所以2S_n+1=（n+1）（a_n+1+2）
所以2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+2，即（n-1）a_n+1+2=na_n…（5分）
所以na_n+2+2=（n+1）a_n+1
所以na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n
所以a_n+a_n+2=2a_n+1…（7分）
又由2S₁=a₁+2，得：a₁=2…（8分）
所以数列{a_n}是首项为2公差为1的等差数列
所以a_n=n+1…（10分）
（3）证明：由（2）知${c_n}=\frac{n+1}{n}$，
对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，且t，k∈N^*，使得c_n=c_k•c_t，
只需$\frac{n+1}{n}=\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$…（12分）
只需$t=\frac{n（k+1）}{k-n}$…（14分）
取k=n+1，则t=n（n+2）…（16分）
所以对于数列{c_n}中的任意一项${c_n}=\frac{n+1}{n}$，
都存在C_n+1=$\frac{n+2}{n+1}$与C_n（n+2）=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}+2n}$，使得c_n=c_n+1•c_n（n+2），
即数列{c_n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积…（18分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．