Question

15．已知等差数列{a_n}和单调递减数列{b_n}（n∈N^*），{b_n}通项公式为b_n=λn²+a₇•n．若a₃，a₁₁是方程x²-x-2=0的两根，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． $（{-∞，-\frac{1}{6}}）$
• C． $（{-\frac{1}{6}，+∞}）$
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 根据等差数列的性质，结合根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：：∵a₃，a₁₁是x²-x-2=0的两根，
∴a₃+a₁₁=1．（或两根为2，-1⇒a₃+a₁₁=1）
∵{a_n}是等差数列，
∴${a_3}+{a_{11}}=2{a_7}⇒{a_7}=\frac{1}{2}$，
∴${b_n}=λ{n^2}+\frac{1}{2}n$．
∵{b_n}递减，∴b_n+1-b_n＜0对n∈N^*恒成立，$⇒λ{（n+1）^2}+\frac{1}{2}（n+1）-（λ{n^2}+\frac{1}{2}n）＜0$$⇒λ（2n+1）+\frac{1}{2}＜0$，
∴$λ＜-\frac{1}{4n+2}$对n∈N^*恒成立．
∵${（-\frac{1}{4n+2}）_{min}}=-\frac{1}{6}$，∴$λ＜-\frac{1}{6}$．
故选：B．

点评 本题主要考查数列的函数性质，结合等差数列，以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．