Question

已知F₁，F₂为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点，M为椭圆上动点，有以下四个结论：
①|MF₂|的最大值大于3；
②|MF₁|•|MF₂|的最大值为4；
③若过F₂作∠F₁MF₂的外角平分线的垂线，垂足为N，则点N的轨迹方程是x²+y²=4；
④若动直线l垂直y轴，交此椭圆于A、B两点，P为l上满足|PA|•|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为

x2

2

+

2y2

3

=1或

x2

6

+

2y2

9

=1．
以上结论正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①利用椭圆的几何性质，求出|MF₂|的最大值是a+c；
②利用椭圆的几何性质|MF₁|+|MF₂|=2a，结合基本不等式MF₁|•|MF₂|≤(

|MF1|+|MF2|

2

)2，求出|MF₁|•|MF₂|的最大值；
③利用外角平分线作垂线的几何特征得出N是线段F₂P的中点，结合中位线定理得ON的长为定值，从而求得N的轨迹方程；
④设点P的坐标（x，y），依题意得A（x₀，y），B（-x₀，y），由|PA|•|PB|=2求出点P的坐标关系式，代入椭圆方程求出P点的轨迹方程．

解答： 解：对于①，椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2、c=1，∴|MF₂|的最大值是a+c=2+1=3，∴①错误；
对于②，|MF₁|+|MF₂|=2a=4，∴|MF₁|•|MF₂|≤(

|MF1|+|MF2|

2

)2=4，∴|MF₁|•|MF₂|的最大值为4，②正确；
对于③，如图，
延长F₂N与F₁M交于P，连接ON，则点P、F₂关于点N对称，
∴ON=

1

2

F₁P=

1

2

（MF₁+MF₂）=a=2，
∴动点N的轨迹方程为x²+y²=4；∴③正确；
对于④，设点P的坐标为（x，y），依题意得A（x₀，y），B（-x₀，y），
∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x₀|•|x+x₀|=|x²-x02|=2，即x02=x²±2；
代入椭圆方程得

x2±2

4

+

y2

3

=1，
即

x2

2

+

2y2

3

=1（-

3

≤y≤

3

）与

x2

6

+

2y2

9

=1（-

3

≤y≤

3

）；
∴P点的轨迹为两椭圆

x2

2

+

2y2

3

=1与

x2

6

+

2y2

9

=1夹在两直线y=±

3

之间的弧长，∴④错误；
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查了椭圆方程的定义与几何性质的综合应用问题，也考查了一定的推理与计算能力，是综合题，也是较难的题目．