Question

给出以下命题：
（1）若∫

b a

f（x）dx＞0，则f（x）＞0；    
（2）∫

2π 0

|sinx|dx=4；
（3）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则∫

a 0

f（x）dx=∫

a+T T

f（x）dx；
其中正确的命题为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,导数的概念及应用

分析：（1）根据微积分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到与f（x）正负无关．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符号不同，根据微积分基本运算性质，化为∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判断．
（3）根据微积分基本定理，两边分别求解，再结合F（a+T）=F（a），F（T）=F（0）即可判定．

解答： 解：对于（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．故（1）错误；
对于（2））∫₀^2π|sinx|dx=

∫

π 0

sinxdx+

∫

2π π

（-sinx）dx=-cosx|

π 0

+cosx|

2π π

=2+2=4，故（2）正确；
对于（3）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），则∫₀^af（x）dx=∫_T^a+Tf（x）dx，故（3）正确．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题借助于命题真假的判断与应用，考查微积分基本定理，微积分基本运算性质．属于中档题．