Question

9．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，设其前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{2}$≤S_n＜$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．可得a₁+2d=7，$（{a}_{1}+3d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+8d），联立解得即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{3n-2}$=4×$（\frac{1}{8}）^{n}$．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
∴a₁+2d=7，${a}_{4}^{2}$=a₂•a₉，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+8d），
联立解得d=3，a₁=1．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{3n-2}$=4×$（\frac{1}{8}）^{n}$．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{8}）^{n}]}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4}{7}$$[1-（\frac{1}{8}）^{n}]$∈$[\frac{1}{2}，\frac{4}{7}）$．
∴$\frac{1}{2}$≤S_n＜$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．