Question

5．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=a（a＞2），E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD上的点，且AE=AF=CG=CH，当AE取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 根据题意，设AE=AF=CG=CH=x，（0＜x＜2），四边形EFGH的面积为y，利用矩形、三角形面积公式分析可得y的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，设AE=AF=CG=CH=x，（0＜x＜2），四边形EFGH的面积为y，
则有S_矩形ABCD=2a，S_△AEF=S_△CHG=$\frac{1}{2}$x²，S_△BFG=S_△DEH=$\frac{1}{2}$（a-x）（2-x），
则有y=2a-2×（$\frac{1}{2}$x²）-2×$\frac{1}{2}$（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x=-2（x-$\frac{a+2}{4}$）²+$\frac{（a+2）^{2}}{8}$
分析可得：当x=$\frac{a+2}{4}$时，y取得最大值$\frac{（a+2）^{2}}{8}$；
故当AE=$\frac{a+2}{4}$时，四边形EFGH的面积取得最大值$\frac{（a+2）^{2}}{8}$．

点评 本题考查函数解析式的求法以及二次函数的最值，关键是得到四边形EFGH的面积的解析式．