Question

13．若函数f（x）=-x³+3x在（3-a²，2a）上有最大值，则实数α的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，\sqrt{2}）$
• B． $（\sqrt{2}，\sqrt{5}]$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $（\sqrt{2}，\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 求函数f（x）=-x³+3x的导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间（3-a²，2a）上有最大值，故最大值点的横坐标是集合（3-a²，2a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围

解答 解：由题 f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0解得-1＜x＜1；令f′（x）＜0解得x＜-1或x＞1．
由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
故函数在x=1处取极大值，判断知此极大值必是区间（3-a²，2a）上的最大值
∴故有3-a²＜1…①，2a＞1…②，解得：a＞$\sqrt{2}$，
又f（1）=2，2=-x³+3x，解得x=-2或x=1，
函数f（x）=-x³+3x在（3-a²，2a）上有最大值，必须-2≤3-a²，解得a∈[$-\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]
综上知a∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]．
故选：B．

点评 本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．