Question

对于函数f（x），若存在区间[m，n]，使x∈[m，n]时，f（x）∈[km，kn]（k∈N*），则称区间[m，n]为函数f（x）的“k倍区间”．已知函数f（x）=x³+sinx，则的“5倍区间”的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意可判断f（x）是R上的增函数，从而可知解x³+sinx=5x即可，作x³-5x，-sinx的图象，确定解的个数，从而求区间的个数．

解答： 解：∵f（x）=x³+sinx，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0恒成立，
故f（x）是R上的增函数，
故令f（x）=5x，
即x³+sinx=5x，
即x³-5x=-sinx，
作x³-5x，-sinx的图象如图，
有三个交点，
函数f（x）=x³+sinx，则的“5倍区间”的个数是3个，
故选D．

点评：本题考查了数形结合的应用，属于中档题．