Question

如图，给出定点和直线，是直线上的动点，的角平分线交于点，求的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系．

Answer 1

（1）当时，轨迹方程，表示抛物线上的一段弧．
（2）当时，轨迹方程为．     ③
若，方程③表示椭圆上的一段弧；
若，方程③表示双曲线上的一段弧．

依题意可设，，，，
当时，由，
得，即，
化简得．        ①
又点在直线上，则．           ②
由式①，②消去，得．
当时，点坐标满足上式．
（1）当时，轨迹方程，表示抛物线上的一段弧．
（2）当时，轨迹方程为．     ③
若，方程③表示椭圆上的一段弧；
若，方程③表示双曲线上的一段弧．