Question

17．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+（{1-a}）x$，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=-2时，正实数x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，证明：${x_1}+{x_2}＞\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+（1-a）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，由a的取值进行分类，结合导数的性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）可得（x₁+x₂）²+3（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），令函数g（t）=t-lnt，（t＞0），则g′（t）=1-$\frac{1}{t}$，可得g（t）≥g（1）=1，即（x₁+x₂）²+3（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂）≥1，即x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{13}-3}{2}$$＞\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+（1-a）x，a∈R，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+（1-a）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，…（1分）
当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0．∴f（x）在（0，+∞）上是递增函数，
即f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…（3分）
当a＞0时，f′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．∴当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0；
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{a}$），单调递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．…（5分）
综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{a}$），单调递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．…（6分）
（2）当a=-2时，f（x）=lnx+x²+3x，（x＞0）
正实数x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，
⇒lnx₁+x₁²+3x₁+lnx₂+x₂²+3x₂，+x₁x₂=0
⇒（x₁+x₂）²+3（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂）
令函数g（t）=t-lnt，（t＞0），则g′（t）=1-$\frac{1}{t}$
t∈（0，1）时，g′（t）＜0，t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0
∴g（t）≥g（1）=1
∴（x₁+x₂）²+3（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂）≥1．
则x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{13}-3}{2}$，或x₁+x₂$≤\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$（舍去）
$\frac{\sqrt{13}-3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2\sqrt{13}-7}{4}=\frac{\sqrt{52}-7}{4}＞0$．
∴x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{13}-3}{2}$$＞\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了导数的应用，构造函数证明函数不等式，考查了转化思想，函数与方程思想，属于中档题．