Question

1．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞f（x-1）+2的解集；
（Ⅱ）设a＜b，比较f（$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$）与f（$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件证明此函数的单调性，进而利用单调性把自变量解放出来，从而求出x的取值范围，
（Ⅱ）先利用作差法比较$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$与$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$，需要多次构造函数，利用导数和函数的最值的关系加以证明，最后利用函数f（x）的单调性即可证明．

解答 解：（Ⅰ）任取x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，由已知得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0
∴f（x₂）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁）＞f（x₁），即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）是单调递增，
令x=y=3，
则f（9）=2f（3）=2，
∵f（x）＞f（x-1）+2，
∴f（x）＞f（9x-9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{9x-9＞0}\\{x＞9x-9}\end{array}\right.$，解得1＜x＜$\frac{9}{8}$，
故原不等式的解集为（1，$\frac{9}{8}$）；
（Ⅱ）设$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$-$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$=$\frac{（b-a+2）•{e}^{a}+（b-a-2）•{e}^{b}}{2（b-a）}$=$\frac{（b-a+2）+（b-a-2）•{e}^{b-a}}{2（b-a）}•{e}^{a}$，
令b-a=x，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x，x＞0，
∴g′（x）=1+（x-1）e^x，
令h（x）=1+（x-1）e^x，
∴h′（x）=xe^x＞0，
∴h（x）在（0，+∞）单调递增，
∴h（x）＞h（0）=1-1=0，
∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增
∴g（x）＞g（0）=2-2=0，
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）e^x，且a＜b，
∴$\frac{（b-a+2）+（b-a-2）•{e}^{b-a}}{2（b-a）}•{e}^{a}$＞0，
∴$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$＞$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$，
∵函数f（x）在区间（0，+∞）是单调递增，
∴f（$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$）＞f（$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$）．

点评 本题考查了抽象函数的求值及利用其单调性求自变量的取值范围，以导数在函数中的运用，属于中档题．