Question

5．已知函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅲ）若a=1，请列出表格求函数f（x）的极大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-a$．由函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，利用导数的几何意义能求出a的值．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=lnx-2x，f'（1）=ln1-2=-2，利用导数的几何意义能求出函数f（x）在x=1处的切线方程．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=lnx-x，$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．令f'（x）=0，解得x=1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表表示，由此能求出f（x）的极大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-a$．
∵函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f'（1）=1-a=0，解得a=1．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=lnx-2x，
∴f'（1）=ln1-2=-2，
∴函数f（x）在x=1处的切点为（1，-2）．
∵$f'（x）=\frac{1}{x}-2$，∴k=f'（1）=1-2=-1，
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=lnx-x，$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
令f'（x）=0，解得x=1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

所以f（x）在x=1处取得极大值f（1）=-1．

点评 本题考查导数性质、导数的几何意义、函数的极大值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．