Question

7．当b＞a＞0时，比较b，a，$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$，$\frac{2ab}{a+b}$的大小（运用基本不等式及比较法）

Answer 1

分析 利用基本不等式可判断$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$；利用不等式的性质可得a＜$\frac{2ab}{a+b}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$＜b，利用作差法判断$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，从而确定大小顺序．

解答 解：∵b＞a＞0，
∴a＜$\frac{2ab}{a+b}$，
∵$\sqrt{ab}$-$\frac{2ab}{a+b}$=$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$（a+b-2$\sqrt{ab}$）＞0，
∴$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，
易知$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，
∵（$\frac{a+b}{2}$）²＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
∴$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$，
故a＜$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$＜b．

点评 本题考查了基本不等式及不等式的性质的应用，同时考查了作差法与演绎法的应用．