Question

如图，直三棱柱A′B′C′-ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，AB=BC=

2

，A′A=2．
（Ⅰ）证明：BE∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′-EB′C的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明BE∥A′C，即可证明BE∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）转换底面求三棱锥A′-EB′C的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵E、B分别为A′D、DC的中点，
∴BE∥A′C                   …（2分）
又A′C?平面A′ACC′，且BE?平面A′ACC′，
∴BE∥平面A′ACC′．                      …（6分）
（Ⅱ）解：∵AB=BC=

2

 ，  ∠ABC=90° ，  ∴AC=A′A=2，
∵ABC-A'B'C'为直三棱柱，∴∠A'B'C'=90°，∴A'B'⊥B'C'，
又BB'⊥平面A'B'C'，∴A'B'⊥B'B
∴A'B'⊥平面BCC'B'．…（8分）
∴VA′-EB′C=VB′-A′EC=

1

2

VB′-A′DC=

1

2

VA′-B′DC．                           　 　…（10分）
=

1

2

[

1

3

×(

1

2

×2

2

×2)

2

]=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥A′-EB′C的体积，正确运用线面平行的判定定理是关键．