Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最高点为Q（$\frac{π}{6}$，2）
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）图象的最高点坐标得出A的值，由x轴上相邻的两个交点之间的距离求出周期与ω的值，再把点的坐标代入求出φ的值即可；
（2）根据x的取值范围求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，计算f（x）的最小值以及对应的x值．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象的最高点为Q（$\frac{π}{6}$，2）得A=2；
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，
得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，
ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2；
由点Q（$\frac{π}{6}$，2）在图象上得2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，
sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
故$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{6}$，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-1．
故f（x）的最小值-1，此时x=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数解析式的应用问题，是基础题目．