Question

4．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，点P极坐标为$（{2\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$，直线l过点P，且倾斜角为$\frac{π}{3}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求$|{\frac{1}{{|{PA}|}}-\frac{1}{{|{PB}|}}}|$．

Answer 1

分析 （1）曲线C极坐标方程转化为3ρ²+ρ²sin²θ=12，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点P（3，$\sqrt{3}$），且倾斜角为$\frac{π}{3}$，能求出直线l参数方程．
（2）把直线l参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C：3x²+4y²=12，得：$\frac{5}{4}{t}^{2}+7t+9=0$，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出$|{\frac{1}{{|{PA}|}}-\frac{1}{{|{PB}|}}}|$的值．

解答 解：（1）∵曲线C极坐标方程：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，∴3ρ²+ρ²sin²θ=12，
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为3x²+4y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵点P极坐标为$（{2\sqrt{3}，\frac{π}{6}}）$，直线l过点P，且倾斜角为$\frac{π}{3}$．
∴点P的直角坐标为（3，$\sqrt{3}$），
∴直线l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）把直线l参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C：3x²+4y²=12，
整理，得：$\frac{5}{4}{t}^{2}+7t+9=0$，
$△={7}^{2}-4×\frac{5}{4}×9$=4＞0，
设方程的两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=-$\frac{28}{5}$，t₁t₂=$\frac{36}{5}$，∴t₁＜0，t₂＜0，
∴$|{\frac{1}{{|{PA}|}}-\frac{1}{{|{PB}|}}}|$=|$\frac{1}{|{t}_{1}|}-\frac{1}{|{t}_{2}|}$|=|$\frac{|{t}_{2}|-|{t}_{1}|}{|{t}_{1}||{t}_{2}|}$|=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（-\frac{28}{5}）^{2}-4×\frac{36}{5}}}{\frac{36}{5}}$=$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查参数方程化为普通方程的求法，考查直线的参数方程的求法，考查两线段长的倒数之差的绝对值的求法，考查韦达定理、直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．